Et opgaveark bygget på 10.000 kabaler, som en computer har forsøgt at løse.
Udskoling og gymnasium · sandsynlighed, statistik, algoritmer
Overalt på nettet står der, hvor ofte en kabale "går op". Næsten ingen af tallene har en kilde. Derfor byggede nogen et program, en solver, der prøver sig frem, indtil den enten finder en løsning eller giver op.
To spil kan overhovedet undersøges på den måde, nemlig dem hvor alle 52 kort ligger synligt fra start, og der ikke er nogen trækbunke. Så er spørgsmålet "kan dette spil løses?" et spørgsmål med ét svar. I 7 kabale ligger 21 kort skjult, og så findes svaret ikke. Det afhænger af, hvad spilleren gætter undervejs.
| Spil | Kabaler undersøgt | Løst | Uafgjort |
|---|---|---|---|
| Napoleon kabale (FreeCell) | 5.000 | 4.988 | 12 |
| Otte kabale (Eight Off) | 5.000 | 4.995 | 5 |
1. Inden I regner: gæt. Hvor stor en andel af spillene tror du kan løses? Skriv dit gæt ned, og gem det til opgave 6.
2. Beregn for hvert spil, hvor stor en andel af de undersøgte kabaler der blev løst. Angiv svaret i procent med to decimaler.
3. Vi skriver, at tallet er en nedre grænse og ikke et facit. Forklar med dine egne ord hvorfor. Hvad ville der skulle til, før man kunne kalde det et facit?
4. Otte kabale har strengere regler end napoleon kabale. Man skal bygge i samme kulør i stedet for skiftende farve, og en tom kolonne må kun tage en konge. Alligevel blev en større andel løst.
Den eneste anden forskel er antallet af frie celler, hvor man midlertidigt kan parkere ét kort: napoleon kabale har fire, otte kabale har otte.
Opstil en forklaring på, hvorfor de fire ekstra celler kan veje tungere end de strengere byggeregler. Hvordan kunne man teste din forklaring?
5. (gymnasium) Der blev undersøgt 5.000 spil ud af uendeligt mange mulige. Beregn et 95 %-konfidensinterval for andelen i napoleon kabale ved hjælp af normalapproksimationen.
Kig derefter på den øvre grænse, du får. Hvad er der galt med den? Hvad fortæller det om at bruge normalapproksimationen, når andelen ligger tæt på 100 %?
6. Klassens eget forsøg. Gå ind på 7kabale-gratis.dk/otte-kabale/ og spil ét parti hver. Notér, hvor mange i klassen der vandt.
Beregn klassens vindprocent. Sammenlign med de 99,9 % og med dit gæt fra opgave 1. Hvorfor er de to tal så forskellige? Det er ikke et trickspørgsmål, og det er ikke fordi nogen har regnet forkert.
7. (åben, kræver computer) De fem spil i otte kabale, som programmet gav op på, har numrene:
31994 · 311738 · 318136 · 578284 · 891422
Vælg "Vælg spil-nummer…" i spillets menu, og indtast ét af dem. Prøv at vinde det.
Ingen ved, om de kan løses. Løser du et af dem, har du fundet noget, computeren ikke kunne, og så er tallet i tabellen ovenfor blevet en anelse forkert.
Forslag til et forløb på 90 minutter, plus facit og diskussionsspørgsmål.
Den centrale pointe er forskellen på "hvor mange spil kan vindes" og "hvor mange spil bliver vundet". Det er samme skel som mellem en teoretisk sandsynlighed og et observeret udfald, men her bliver det konkret på en måde, eleverne selv kan mærke: de spiller et spil, hvor mindst 99,9 % af kabalerne kan vindes, og taber alligevel.
Forløbet er bygget op om en modsætning, eleverne selv fremkalder i opgave 6. Det er derfor, gættet i opgave 1 skal skrives ned før alt andet. Uden gættet er der ingen overraskelse at forklare.
| 0-10 min | Gæt først | Stil spørgsmålet på tavlen: "Hvor mange kabaler kan overhovedet vindes?" Alle skriver et gæt ned (opgave 1). Saml et par gæt på tavlen uden at kommentere dem. De fleste gætter alt for lavt, ofte 40-70 %. |
| 10-25 min | Spil | Alle spiller ét parti otte kabale (opgave 6). Notér antal vundne på tavlen. Regn klassens vindprocent ud med det samme, men lad den stå uden forklaring. |
| 25-45 min | Regn | Opgave 2 og 3. Nu afsløres de rigtige tal. Her opstår modsætningen: klassen vandt måske 20 %, og tabellen siger 99,9 %. |
| 45-65 min | Diskutér | Den vigtigste del. Se spørgsmålene nedenfor. Målet er, at eleverne selv formulerer forskellen på "kan vindes" og "bliver vundet". |
| 65-85 min | Fordyb | Opgave 4 for alle. Opgave 5 for gymnasiet, eller som udfordring til de hurtige i udskolingen. |
| 85-90 min | Åbn | Præsentér opgave 7 som hjemmearbejde eller frivillig udfordring. Det virker stærkt, at der findes fem opgaver uden facit. |
| Eleven siger | Sådan kan det gribes |
|---|---|
| "Så vinder jeg 99,9 % af mine spil." | Tallet siger, at der findes en vej. Ikke at man finder den. Sammenlign med en labyrint: der er en udgang, men man kan sagtens fare vild. |
| "De 5 uafgjorte kan ikke løses." | Nej. Programmet gav op. Det er forskellen på "vi fandt ikke et bevis" og "der findes ikke et bevis". Det er en pointe, der rækker langt ud over kabaler. |
| "Så er computeren bare bedre til spillet." | Delvis rigtigt, men interessant: computeren er ikke klogere, den er bare tålmodig. I et typisk spil prøvede den 60 stillinger af. |
| "Hvorfor undersøgte de ikke alle spil?" | God pointe. Antallet af mulige spil er astronomisk. Det er derfor, man tager en stikprøve, og derfor opgave 5 handler om usikkerhed. |
1. Ingen facit. Gættet er der for at skabe modsætningen i opgave 6. Erfaringen er, at de fleste gætter markant for lavt, netop fordi de forveksler "kan vindes" med "bliver vundet". Det er hele lektionen i en nøddeskal.
2. Napoleon kabale: 4988/5000 = 99,76 %. Otte kabale: 4995/5000 = 99,90 %.
3. De 4.988 løste er bevist løselige, for løsningen findes. De 12 uafgjorte er ukendte: de kan være løselige eller ej. Den sande andel ligger derfor mellem 99,76 % og 100,00 % for netop denne stikprøve. For at få et facit skulle søgningen være komplet, altså gennemsøge alle stillinger uden loft. Det er teoretisk muligt, men beregningstungt.
4. Frie celler er hukommelse. Med flere celler kan man midlertidigt skille en sekvens ad og samle den i en anden rækkefølge, og det åbner træk, der ellers var umulige. De strengere byggeregler fjerner nogle muligheder, men cellerne tilføjer flere.
Til testdelen: man kunne køre solveren på otte kabale med kunstigt fire celler i stedet for otte og se, om andelen falder under napoleon kabales. Det er en rigtig hypotese med et rigtigt eksperiment, og det er værd at fremhæve, at eleverne her selv formulerer et forsøg, der kunne udføres.
5. Med p̂ = 0,9976 og n = 5000 er SE = √(0,9976 · 0,0024 / 5000) ≈ 0,00069, og intervallet bliver 0,9976 ± 1,96 · 0,00069, altså cirka [99,62 % ; 99,90 %].
Her er intervallet meningsfuldt. Men prøv samme regnestykke, som om alle 5.000 var løst: så giver normalapproksimationen et interval, der rækker over 100 %, altså en umulig sandsynlighed. Pointen er, at approksimationen bryder sammen, når p nærmer sig 0 eller 1. Til gymnasiet kan man introducere Wilson-intervallet som det, man bruger i stedet.
6. Ingen facit, men forvent 10-40 % i en klasse, der spiller spillet for første gang. Det er den vigtigste opgave på arket. Forskellen mellem klassens tal og de 99,9 % er ikke en fejl. Den er selve pointen: solveren måler, hvor mange spil der kan løses med perfekt spil, mens klassen måler, hvor mange der bliver løst af mennesker, der spiller for første gang.
Hvis klassen selv når frem til den formulering, er målet nået.
7. Der er intet facit. Det er en åben opgave, og det er meningen. Ingen ved, om de fem spil kan løses. Hører vi fra en klasse, der løser et af dem, retter vi tallet på siden og skriver, hvor det kom fra.
Rådata i JSON ligger frit på 7kabale-gratis.dk/data/ sammen med metode, grafik og forbehold. Filerne indeholder antal, antal løste, listen over uafgjorte spilnumre samt hvor mange stillinger solveren gennemsøgte (median og 90 %-fraktil).
Spilnumrene er deterministiske: spil nummer i ud af N er round(i · 1000000 / (N+1)). Hele stikprøven kan altså genskabes uden vores filer. Det er med vilje, så resultatet kan efterprøves.