Dit blandede kortspil har aldrig eksisteret før

Tallet, det hele handler om

Et kortspil har 52 kort. Når man blander det, vælger man i praksis en rækkefølge af de 52 kort, og spørgsmålet er, hvor mange rækkefølger der findes. Det øverste kort kan være et hvilket som helst af de 52. Kortet nedenunder kan være et af de 51 tilbageværende, det næste et af 50, og sådan fortsætter det. Antallet af rækkefølger er derfor 52 × 51 × 50 × ... × 2 × 1. Matematikere skriver det 52! og udtaler det "52 fakultet".

Skrevet helt ud ser tallet sådan her ud:

Tal i den størrelse siger ikke noget af sig selv. En million og en milliard føles ens, når de står på en linje. Så lad os gøre det, tallet fortjener, og sætte det op imod noget.

Hvor langt rækker menneskeheden?

Lad os være absurd gavmilde. Forestil dig, at alle otte milliarder mennesker på Jorden blandede et spil kort én gang i sekundet, og at de havde gjort det uafbrudt siden universets begyndelse for cirka 13,8 milliarder år siden. Der er gået i omegnen af 4,4 × 10¹⁷ sekunder siden da, så tilsammen ville menneskeheden have frembragt cirka 3,5 × 10²⁷ blandinger.

Det lyder af meget. Men 3,5 × 10²⁷ ud af 8,1 × 10⁶⁷ er ingenting. Andelen af de mulige rækkefølger, dette tankeeksperiment når igennem, er cirka 1 ud af 10⁴⁰. Til sammenligning regner man normalt med, at Jorden består af omkring 10⁵⁰ atomer. Der er altså langt flere måder at blande et kortspil på, end der er atomer i den planet, du står på, og det med en margin, der selv i astronomi ville være usædvanlig.

Deraf følger påstanden i overskriften. Sandsynligheden for, at to grundigt blandede kortspil nogensinde har vist den samme rækkefølge, kan vurderes med samme logik som det kendte fødselsdagsparadoks, og selv med tankeeksperimentets 10²⁷ blandinger er den så tæt på nul, at forskellen ikke kan måles. Hver gang du blander grundigt, holder du efter al sandsynlighed noget i hånden, som aldrig har eksisteret før og aldrig kommer til at eksistere igen.

Ordet "grundigt" bærer et stort læs i den sætning. Et nyt kortspil kommer sorteret fra fabrikken, og blander man det kun en eller to gange, er rækkefølgen stadig fuld af mønstre fra sorteringen. Påstanden gælder blandede kort, ikke sjuskede blandinger.

Hvorfor føles det ikke sådan?

Det interessante er, at næsten ingen tror på påstanden, første gang de hører den. Vores intuition for tilfældighed er trænet på små tal: terninger med seks sider, plat eller krone, lottokuponer med få millioner kombinationer. Dér støder man faktisk på gentagelser, og hjernen lærer, at "det hele har vel været der før". Men vækst i fakultet-tempo opfører sig ikke som noget, vi har erfaring med. Går man fra 10 kort til 20, vokser antallet af rækkefølger ikke til det dobbelte; det vokser fra 3,6 millioner til over 2 trillioner. Ved 52 kort er intuitionen for længst stået af.

Fødselsdagsparadokset, som mange kender, trækker i øvrigt i den modsatte retning af, hvad man skulle tro. Det siger, at sammenfald kommer tidligere, end intuitionen venter: I en klasse på 23 elever er der over 50 % chance for, at to har fødselsdag samme dag, fordi antallet af par vokser hurtigt. Præcis samme regnestykke gælder for kortblandinger, og selv med den effekt indregnet er antallet af blandinger i vores tankeeksperiment så lille i forhold til 52!, at chancen for bare ét sammenfald i hele menneskehedens historie er forsvindende. Paradokset, der plejer at redde overraskelsen, taber til fakultetet.

Hvor mange blandinger er nok? Syv.

Hvor grundigt er grundigt? Det spørgsmål er faktisk besvaret i den matematiske forskning. I 1992 analyserede matematikerne Dave Bayer og Persi Diaconis den almindelige riffelblanding, hvor man deler bunken i to og lader kortene falde sammen igen. Deres resultat er blevet berømt: Efter fem riffelblandinger er et kortspil stadig målbart langt fra tilfældig rækkefølge, og omkring den syvende blanding falder det på plads. Syv riffelblandinger er derfor det tal, man oftest møder som tommelfingerregel, og det stammer ikke fra en overlevering, men fra et matematisk bevis.

Det har en praktisk konsekvens, kortspillere kender uden at have sat tal på: Efter én eller to blandinger kan man stadig mærke det forrige spil i kortene. Whist- og bridgespillere har regler og ritualer omkring blandingen af netop den grund. Og i kabale betyder det, at et fysisk kortspil, der kun lige er "rystet lidt", giver udlæg, som ikke er tilfældige, med de skævheder i spillet, det fører med sig.

Der findes en morsom undtagelse, hvor et kortspils rækkefølge er alt andet end unik: det splinternye spil. Kort kommer sorteret fra fabrikken i en fast orden, og millioner af spil verden over ligger derfor i nøjagtig samme rækkefølge, indtil nogen blander dem. De første par blandinger flytter spillet fra "identisk med millioner af andre" til "har aldrig eksisteret før", og det er formentlig en af de største forvandlinger, en hverdagsgenstand kan gennemgå på ti sekunder.

En computer har det lettere. Når kabalerne her på siden blander kort, sker det med en algoritme, der giver hver af de 52! rækkefølger samme sandsynlighed. Hvert udlæg har et spilnummer, så præcis det samme udlæg kan findes frem igen. Det er den egenskab, resten af denne artikel står på.

Og så det underlige: Man kan alligevel måle på det

Her kommer det spørgsmål, vi selv løb ind i, da vi testede 10.000 kabaler med en solver. Hvis der findes 8 × 10⁶⁷ mulige blandinger, hvad kan 10.000 af dem så overhovedet fortælle? Det svarer til at smage på ét vandmolekyle og udtale sig om havet.

Svaret er stikprøvens logik, og den er mindre intuitiv, end den burde være. Når man vil vide, hvor stor en andel af alle udlæg der kan vindes, afhænger usikkerheden på svaret næsten ikke af, hvor mange mulige udlæg der findes. Den afhænger af, hvor mange man undersøger. En meningsmåling med 1.000 tilfældigt udvalgte svarpersoner er omtrent lige præcis, uanset om befolkningen er en million eller en milliard. På samme måde giver 5.000 tilfældigt valgte kabaleudlæg et solidt estimat af andelen, selv om de mulige udlæg er flere, end der er atomer i Jorden.

Med 5.000 undersøgte udlæg pr. variant er den statistiske usikkerhed på en andel omkring 99 % nede på nogle få tiendedele af et procentpoint. Derfor kunne vi skrive, at mindst 99,76 % af FreeCell-udlæggene og mindst 99,90 % af udlæggene i Otte kabale kan vindes, og mene det bogstaveligt. Tallenes svaghed er ikke stikprøvens størrelse; den er, at solveren kan give op på et løseligt udlæg, og derfor er tallene nedre grænser. Hele regnestykket, metoden og rådata ligger frit på datasiden.

Prøv det af i et klasseværelse

Det her er taknemmeligt stof at undervise i, fordi hvert led kan efterprøves. 52! kan regnes ud i alle programmeringssprog med heltal af vilkårlig størrelse, og tankeeksperimentet ovenfor er tre ganger på en lommeregner. En god første opgave er at lade eleverne gætte, før de regner: Hvor mange rækkefølger har 5 kort? 10 kort? Hele spillet? Gættene rammer typisk skævt med et tocifret antal størrelsesordener, og netop dét, at ens egen intuition kan tages i at fejle så eftertrykkeligt, plejer at sidde bedre fast end facit.

Stikprøvelogikken kan eleverne bagefter efterprøve direkte i browseren: Vores opgaveark til matematikundervisning har syv opgaver med facit, bygget på de 10.000 testede kabaler, og de 17 udlæg, solveren ikke kunne løse, er offentliggjort med spilnumre som åbne opgaver, ingen kender svaret på.