Binomialfordeling, konfidensintervaller og test på 13,5 mio. kabaler, hvor facit er kendt.
Elevark · gymnasiet (stx og hf) · sandsynlighed og statistik
Filerne ligger på 7kabale-gratis.dk/data/undervisning/ og kan åbnes i Excel, Google Sheets og lignende. Kolonnerne er adskilt med semikolon.
| Fil | Indhold |
|---|---|
| golf-stikproeve-1000.csv | 1.000 tilfældigt udtrukne udlæg af golf-kabalen: spilnummer og om det kan gå op (1) eller ej (0). |
| baronessen-scorpion-stikproeve.csv | 500 tilfældige udlæg af Baronessen og 500 af Scorpion, samme kolonner. |
| kabaler-oversigt.csv | Alle 26 kabaler: antal udlæg, antal der kan gå op, bevist umulige og uafgjorte. |
I ur-kabalen træffer man ingen valg; blandingen afgør alt. Teoretisk går den op med sandsynligheden p = 1/13. Du spiller 20 ur-kabaler, hver med en ny tilfældig blanding. Lad X være antallet, der går op.
a) Gør rede for, at X kan beskrives med en binomialfordeling, og angiv parametrene.
b) Bestem P(X = 0) og P(X ≥ 3).
c) Bestem middelværdi og spredning for X.
d) Hvor mange ur-kabaler skal man mindst spille, før sandsynligheden for, at mindst én går op, er over 50 %?
Brug golf-stikproeve-1000.csv. Udlæggene er trukket tilfældigt og uden tilbagelægning blandt alle 1.000.001.
a) Bestem antallet af udlæg i stikprøven, der kan gå op, og stikprøveandelen p.
b) Bestem et 95 %-konfidensinterval for andelen af alle golf-udlæg, der kan gå op.
c) Nu afslører vi populationen: af alle 1.000.001 udlæg kan 451.302 gå op. Ligger den sande andel i jeres interval? Hvad betyder "95 %" egentlig her?
d) Hvor stor skal en stikprøve mindst være, for at intervallets halve bredde højst bliver 1 procentpoint, uanset hvad andelen er?
Brug igen golf-stikprøven. Test på signifikansniveau 5 % med en tosidet binomialtest. Acceptområdet er de værdier, der er tilbage, når man i hver side fjerner den største hale med sandsynlighed højst 2,5 %.
a) En spiller påstår, at halvdelen af alle golf-kabaler kan gå op. Opstil nulhypotesen, bestem acceptområdet, og konkludér.
b) En anden påstår, at det er 45 %. Gentag testen med p0 = 0,45.
c) En tredje mener, at golf går op lige så tit som ønskekabalen, hvor 62,27 % af alle udlæg kan gå op. Test p0 = 0,6227.
d) Sammenlign med jeres konfidensinterval fra opgave 2 og med populationen. Kan to forskellige nulhypoteser begge "overleve" den samme test? Hvad kan en hypotesetest vise, og hvad kan den ikke?
Af alle 1.000.001 udlæg af ur-kabalen går 76.616 op. Teorien siger 1/13.
a) Hvor mange ville man forvente, hvis andelen var præcis 1/13? Hvad er spredningen på antallet?
b) Er afvigelsen større, end man kan forvente? Test nulhypotesen p = 1/13 på 5 %-niveau. Brug normalfordelingen som tilnærmelse.
c) Udlæggene er jo hele populationen af spillets udlæg. Hvorfor giver det alligevel mening at teste? Tænk på, hvordan spillet laver sine 1.000.001 blandinger.
Brug baronessen-scorpion-stikproeve.csv.
a) Opstil en krydstabel med kabale (Baronessen, Scorpion) og udfald (kan gå op, kan ikke gå op).
b) Test på 5 %-niveau, om der er sammenhæng mellem kabale og udfald, med en χ2-test for uafhængighed.
c) Populationen: 18,46 % af alle Baronessen-udlæg og 19,86 % af de afgjorte Scorpion-udlæg kan gå op. Der er altså en forskel. Hvorfor fandt testen den ikke? Hvad kalder man den slags fejl?
d) (A-niveau, åben) Omtrent hvor store stikprøver skulle man bruge for at have en god chance for at opdage forskellen?
Gå ind på 7kabale-gratis.dk/data/eksperiment/, vælg golf, og brug delen om konfidensintervaller. Lad siden trække 100 stikprøver med 100 udlæg hver og lave et 95 %-interval for hver.
a) Hvor mange af de 100 intervaller indeholder populationens andel? Gentag nogle gange.
b) Prøv med 20 udlæg pr. stikprøve og med ur-kabalen. Hvad sker der? Hvorfor?