Et forløb til matematik i gymnasiet om binomialfordeling, konfidensintervaller og hypotesetest. Det særlige: populationen er kendt. For 13 kabaler har en computer spillet alle 1.000.001 udlæg igennem, og næsten alle udlæg er afgjort, så eleverne kan regne på en stikprøve og bagefter se, om metoden ramte.
Som fil til Aula eller intranet: PDF eller Word. Word-filerne kan I rette i.
| Niveau | Gymnasiet, stx og hf, matematik B og A |
|---|---|
| Tid | 2 moduler à 90 minutter |
| Emner | Binomialfordeling, konfidensinterval for en andel, binomialtest, χ2-test, fejl af type II |
| Udstyr | CAS-værktøj eller regneark; computer til CSV-filerne og den interaktive side |
| Pris | Gratis, ingen login, ingen reklamer |
Opgaverne
- Binomialfordeling med ur-kabalen. Ur-kabalen har ingen valg og går teoretisk op med sandsynligheden 1/13. Hvad er sandsynligheden for, at ingen af 20 spil går op, og hvor mange spil skal der til, før det er mere sandsynligt, at mindst ét går op, end at intet gør?
- Konfidensinterval for golf. En tilfældig stikprøve på 1.000 golf-udlæg giver et 95 %-interval. Bagefter afsløres populationen: 45,13 %.
- Tre hypotesetest på samme stikprøve. Går golf op i halvdelen af spillene? I 45 %? Lige så tit som ønskekabalen? To af nulhypoteserne overlever, selv om højst én af dem kan være den rigtige, og populationen viser, hvad en test kan og ikke kan.
- Teori mod population. Af alle 1.000.001 udlæg af ur-kabalen går 76.616 op. Teorien siger 1/13. Er afvigelsen større, end tilfældet kan forklare?
- Forskel på to kabaler. Stikprøver af Baronessen og Scorpion viser ingen signifikant forskel, men populationerne er forskellige: 18,46 % mod 19,86 %. En fejl af type II, man kan se.
- Dækningsgrad. På den interaktive side trækker eleverne 100 stikprøver ad gangen og tæller, hvor mange 95 %-intervaller der rammer, også når normaltilnærmelsen svigter.
Data til regnearket
Filerne er små og kan åbnes direkte i Excel, Google Sheets og lignende. Kolonnerne er adskilt med semikolon, og 1 betyder, at udlægget kan gå op.
- golf-stikproeve-1000.csv: 1.000 tilfældige udlæg af golf-kabalen.
- baronessen-scorpion-stikproeve.csv: 500 udlæg af hver af de to kabaler.
- kabaler-oversigt.csv: alle 26 kabaler med antal udlæg, antal der kan gå op, bevist umulige og uafgjorte.
Stikprøverne er simple tilfældige stikprøver uden tilbagelægning. Hele datasættet med ét tegn pr. spilnummer ligger på datasiden.
Læreplan og kernestof
- Kernestof i matematik B (stx og hf) og A (stx), læreplanerne fra 2024: sandsynlighedsregning og statistik.
- Binomialfordelingen med sandsynligheder, middelværdi og spredning (opgave 1).
- Estimation af basissandsynligheden (opgave 2a).
- Hypotesetest i binomialfordelingen med nulhypotese, alternativ hypotese, kritisk område, acceptområde og signifikansniveau (opgave 3).
- Normalfordelingen er kernestof på A-niveau (opgave 4).
- Supplerende stof: konfidensinterval for en andel (opgave 2b-d og 6) og χ2-test (opgave 5) er ikke kernestof i læreplanerne fra 2024.
Læringsmål
- Eleven kan begrunde brugen af en binomialfordeling og regne sandsynligheder, middelværdi og spredning.
- Eleven kan beregne og fortolke et 95 %-konfidensinterval for en andel og forklare, hvad “95 %” betyder.
- Eleven kan gennemføre en binomialtest og forklare, at “forkastes ikke” ikke er det samme som “er bevist”.
- Eleven kan forklare fejl af type II og sammenhængen med stikprøvens størrelse.
Yngre elever kan begynde med forløbet til 7.-9. klasse. Se også alle forløb.