Forløb på to lektioner à 45 minutter med facit, tidsplan og spørgsmål til samtalen.
Lærervejledning · 7.-9. klasse · statistik og sandsynlighed
Eleverne laver et rigtigt tilfældigt forsøg, ur-kabalen, og sammenligner med et datasæt, hvor svaret er kendt. Computeren har spillet alle 1.000.001 udlæg af ur-kabalen, og 76.616 af dem går op. Klassens relative hyppighed bliver et skøn over andelen (7,66 %), og eleverne kan se med egne øjne, at skønnet bliver bedre, jo flere spil der er med. Bagefter spiller klassen golf-kabalen, hvor dygtighed også tæller, og ser forskellen på, hvor mange spil der kan gå op, og hvor mange der bliver vundet.
Forløbet passer til disse mål i Fælles Mål for matematik efter 9. klassetrin. Kompetencemålene er bindende, færdigheds- og vidensmålene vejledende.
Opgavetyperne, især omregning mellem brøk, decimaltal og procent og vurdering af en relativ hyppighed, er også gode som træning til folkeskolens prøve efter 9. klasse.
| Lektion 1 | ||
| 0-5 min | Gæt | Fortæl kort om datasættet. Alle skriver et gæt ned (opgave 1). Saml et par gæt på tavlen uden at kommentere dem. |
| 5-20 min | Spil | Hver elev spiller ur-kabalen 4 gange (opgave 2). Et spil tager et til to minutter. |
| 20-35 min | Saml | Skriv elevernes tal på tavlen i rækkefølge, og udfyld tabellen og grafen i opgave 3 i fællesskab. |
| 35-45 min | Sammenlign | Opgave 4 og 5. Brug spørgsmålene nedenfor. |
| Lektion 2 | ||
| 0-10 min | Store tal | Opgave 6 på den interaktive side. Lad eleverne sammenligne deres tal ved 10 spil: de er meget forskellige. Ved 10.000 spil er de næsten ens. |
| 10-25 min | Golf | Opgave 7 og 8. Skriv de tre adresser på tavlen. Et golf-spil tager to til fire minutter. |
| 25-30 min | Afsløring | Opgave 9: fortæl, hvilket spil der ikke kan gå op. |
| 30-45 min | Regn | Opgave 10-12. Det, der ikke bliver nået, kan blive lektie. |
| Eleven siger | Forslag til svar |
|---|---|
| "Jeg har tabt tre gange, så nu går den nok op." | Kortene husker ikke de tidligere spil. Hvert spil har den samme sandsynlighed, uanset hvad der skete før. |
| "Vi fik 8 ud af 100, så sandsynligheden er 8 %." | Det er et godt skøn, men et skøn. En anden klasse får et andet tal. Kun meget mange spil giver et sikkert tal. |
| "Computeren snyder, den kan jo se kortene." | Ja, i golf kender computeren bunkens rækkefølge. Den måler derfor, hvor mange udlæg der kan gå op, ikke hvor mange en spiller vinder. I ur-kabalen betyder det intet, for der er ingen valg. |
1. Ingen facit. Gættet bruges i opgave 4. Mange gætter for højt.
2. Afhænger af elevens spil. Med 4 spil er de mulige relative hyppigheder 0/4 = 0 %, 1/4 = 0,25 = 25 %, 2/4 = 50 % og så videre.
3. Afhænger af klassen. Med 100 spil forventer man omkring 7,7 kabaler, der går op. I omkring 96 % af alle klasser lander tallet mellem 3 og 13. Grafen svinger meget i starten og roligere til sidst.
4. 76.616 / 1.000.001 ≈ 0,0766 = 7,66 %, altså lidt under 8 ud af 100. Klassens tal ligger typisk et stykke derfra, fordi 100 spil er et lille forsøg.
5. Nej. I ur-kabalen er der ingen valg, så alle har den samme sandsynlighed i hvert spil. Forskellene er tilfældige. Med sandsynligheden 1/13 er der 73 % chance for, at en elev med 4 spil ikke får nogen kabaler op, 24 % for én og 3,2 % for to eller flere. I en klasse på 25 kan man altså forvente, at cirka 18 elever ikke får nogen op, cirka 6 får én, og typisk ingen eller en enkelt får to eller flere.
6. Ved 10 spil kan den relative hyppighed sagtens være 0 % eller 20 %. Jo flere spil, jo tættere kommer den på 7,66 %. Det er store tals lov: udsvingene fra det enkelte spil betyder mindre og mindre, når de lægges sammen med mange andre. Siden trækker tilfældige spilnumre og slår resultatet op i datasættet, så det er de rigtige udlæg, ikke en simulation af kortene.
7. Afhænger af klassen. Spil 271828 (B) kan ingen vinde, se opgave 9.
8. 451.302 / 1.000.001 ≈ 45,13 %. Klassens tal er næsten altid mindre. Grunde: Eleverne kan ikke se rækkefølgen i bunken, det kan computeren. Computeren kan prøve alle muligheder og fortryde, mens eleverne spiller hvert spil én gang. Eleverne er nye i spillet. Og tre udlæg er et lille forsøg: af netop de tre kan to gå op, så sammenligningen med 45,13 % er usikker.
9. Spil A (31415) kan gå op, spil B (271828) kan ikke gå op, spil C (577215) kan gå op. Har nogen tabt spil A eller C, har de ikke nødvendigvis spillet dårligt: de kunne ikke se bunken. Den, der tabte spil B, kunne slet ikke have vundet.
10. Sorteret fra den kabale, hvor flest udlæg kan gå op:
| Kabale | Kan gå op | Andel | Procent | Omtrent |
|---|---|---|---|---|
| Napoleon | 999.992 | 0,999991 | 100,0 % (99,9991 %) | næsten alle |
| TriPeaks | 970.243 | 0,9702 | 97,0 % | næsten alle |
| Monte Carlo | 887.713 | 0,8877 | 88,8 % | ca. 9 ud af 10 |
| Ønskekabalen | 622.655 | 0,6227 | 62,3 % | ca. 6 ud af 10 |
| Golf | 451.302 | 0,4513 | 45,1 % | ca. 5 ud af 10 |
| Baronessen | 184.648 | 0,1846 | 18,5 % | ca. 2 ud af 10 |
| Ur-kabale | 76.616 | 0,0766 | 7,7 % | ca. hver trettende |
I golf kan knap hvert andet udlæg gå op, i Baronessen cirka hvert femte.
11. 1/13 ≈ 0,0769 = 7,69 %. Datasættet giver 7,66 %. De 1.000.001 udlæg er selv en slags stikprøve: spillet vælger dem med en tilfældighedsgenerator blandt alle de måder, et spil kort kan blandes på. Derfor afviger de lidt fra teorien, på samme måde som klassens tal afviger, bare meget mindre. Gymnasieforløbet regner på, om afvigelsen er større, end man kan forvente.
12. 200 · 0,0766 ≈ 15,3, altså cirka 15. I gennemsnit skal man spille 1 / 0,0766 ≈ 13,1 ur-kabaler for at få én, der går op (med teorien præcis 13).